遊戲中的二項式分佈

遊戲裡面常常有成功率這個東西，像是成功強化武器的機率、某個技能附加能力的發動機率、抽中稀有卡片的機率等等。大多時候，單看這個數字並沒有甚麼意思，我們反而比較會在意，到底在我成功以前我要失敗幾次、投入多少資源？

到底要嘗試幾次，在這其中至少有一次成功的機率才可以提升到50%以上？

以抽卡來說好了，假設抽一次有5%的機率會成功抽中稀有卡片，除此之外抽中非稀有卡片都算是失敗，而且每次抽卡結果都是獨立事件。那到底要連抽幾次，才能有50%以上的機會可以抽中一張稀有卡？

這種情況就可以套用二項式分佈。二項式分佈的一般性公式我們可以寫成：

其中，k代表目標成功次數，n代表測試總數，p代表單次測試的成功機率。

回到抽卡的例子，我如果要計算出，在 10 次測試裡面，抽中 0 張稀有卡的機率，其中單一抽抽中稀有卡的機率為 5% ，那麼套進去計算：



答案大約為59.9%，也就是有接近六成的機會，10 抽抽不到稀有卡。

那要怎麼計算至少一張的機率？很簡單，排除掉完全抽不到稀有卡的情況以後，剩下來的情況就代表有抽中至少一張。所以在這裡，有1 - 59.9% = 40.1%的機率會抽到至少一張。

用Excel列表

到這邊其實可以用Excel的 BINOMDIST 公式來幫我們計算。BINOMIDIST分別接受四個參數，其中前三個參數分別是k, n, p。第四個參數改變此函數的行為，如果為 0 ，表示計算正好為 k 次成功的機率；如果為 1 ，表示計算最多有 k 次成功的機率。

正確的成功率公式如上圖，紅圈圈起來的那格。

藉由Excel的功能，我們可以很輕鬆的增加 n 值，觀察在不同測試次數下的中獎機會。回到前面抽卡的例子，我們可以看出，在14次抽獎以後，抽中至少一張稀有卡的機率會提升到50%以上。

算這個要幹嘛？

知道了達成50%成功率的最小 n 值後，我們可以用它來估計所需要投入的資源成本，不管是虛擬貨幣還是新台幣，從而與得到的回報相比，判斷是否需要把珍貴的資源投入進去。

雖然我這裡以遊戲為例子，但這個計算可以套用到生活中的許多例子，希望供大家參考利用。

關於二項式分佈，可以參考以下網頁：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E4%BD%88
http://dufu.math.ncu.edu.tw/calculus/calculus_eng/node222.html